FRITによるデータ駆動型制御器チューニング

この記事ではFRITの手続きと「なぜそれで上手く行くのか?」を軽く軽く説明します。

1.はじめに
2.FRITとは?
3.おわりに
参考文献

1.はじめに

人間、10年・20年も生きていれば何度も制御器のパラメータを調整する機会があると思います。~~(要出典)~~

自分もNHK ロボコンで延々とPIDのパラメータチューニングをしていた記憶があります。
人力で調整するのって嫌じゃないですか? 私は嫌です。

この記事では自動でパラメータを調整する手法について説明します。

2.FRITとは?

FRIT(Fictitious Reference Iterative Tuning)とは,
実際のシステムへの入力と出力の1組の時系列データのみを用いて,
オフラインで制御器のパラメータ調整を行う手法.

閉ループ系を安定化する制御器のパラメータを一つ見つければ,
そのパラメータでの入出力データを用いて, 目標応答に近い応答をする制御器のパラメータを計算できる.

何度も制御対象に入力を加えてデータを回収したりする事無くパラメータを調整できる所が嬉しい.
閉ループ系での応答でパラメータ計算を行うので, 単体では不安定な制御対象にも適用できる.
非線形計画になる事と初期パラメータが必要な事が難点.

類似した手法としてVRFTが知られる.

問題設定

下のFig. 1のようなシステムを考える.

制御対象 $G$ は線形時不変で動特性は未知, 制御器 $C$ は $C(\rho, z) = \dfrac{b_\mu z^\mu + + ... + b_1 z + 1 }{a_\nu z^\nu + ... + a_1 z + a_0}$ として、
$\rho = \begin{bmatrix} a_0 & ... & a_\nu & b_1 & ... & b_\mu \end{bmatrix}$ を調整可能なパラメータとする.

このシステムの応答を目標応答 $y_d = T_d r$ に近づける事を目的とする.
( $T_d$ : 目標応答伝達関数)

FRITの具体的な手続き

初期パラメータを $\rho_{ini}$ とする.

1. 制御器 $C(\rho_{ini})$ によってFig. 1のシステムを制御した時の実際の入出力データを収集する
(入出力データをそれぞれ $u_{ini} := u(\rho_{ini}),\ \ y_{ini} := y(\phi_{ini})$ と置く. )

(※ 参照信号 $r$ から出力 $y$ までの閉ループ伝達関数は $T(\rho) = \dfrac{ GC(\rho) }{ 1+GC(\rho) }$ と書けるので,
対象への入力 $u$ 及び出力 $y$ についても $\rho$ をパラメータとした関数と見なせる.)

2. 評価関数 $J_F(\rho) := ||y_{ini} - T_d \tilde{r}(\rho)||^2$ を最小化するパラメータ $\rho$ を求める.
ただし疑似参照信号 $\tilde{r}(\rho)$ を $\tilde{r}(\rho) := C(\phi)^{-1}u_{ini} + y_{ini}$ と定義する.

以上の手続きがFRITのアルゴリズムである.

なぜこれで上手く行くのか(概略)

$y_{ini} (= T(\rho) \tilde{r}(\rho))$ に $T_d \tilde{r}(\rho)$ を近づける事で, $T_d$ と $T(\rho)$ を近づける感じのイメージ.

まず疑似参照信号 $\tilde{r}(\rho)$ については, $y_{ini} = Gu_{ini}$ より, 一般の $\rho$ について
$T(\rho)\tilde{r}(\rho) = \dfrac{GC(\rho)}{1+GC(\rho)} \tilde{r}(\rho) = \dfrac{Gu_{ini} }{1+GC(\rho) } + \dfrac{ GC(\rho) }{1+GC(\rho) }y_{ini} = \dfrac{ 1 + GC(\rho) }{1+GC(\rho) }y_{ini} = y_{ini}$ が成立.

① $J_F(\rho^*)=0$ が成立する場合
$J_F(\rho^*) = 0$ なる $\rho^*$ については, $y_{ini} = T_d \tilde{r}(\rho^*)$ が成立するので,
$y_{ini} = T(\rho^*) \tilde{r}(\rho^*) = T_d \tilde{r}(\rho^*)$ となる.

同じ信号 $\tilde{r}(\rho^*)$ に対して同じ出力 $y_{ini}$ を出力している事から,
システムの伝達特性も $\tilde{r}(\rho)$ の帯域で同じ特性を持つと言える.

以上から, $C(\rho^*)$ を実装して, 元の参照信号 $r$ を印加する事で $y(\rho^*) = \dfrac{ GC(\rho^*) }{ 1+GC(\rho^*) } \simeq T_d r$ となる.

② $J_F(\rho) = 0$ となる $\rho$ が存在しない場合
これは $T_d$ が $T(\rho) = \dfrac{GC(\rho)}{1+GC(\rho)}$ で表せる $T(\rho)$ の集合に含まれない場合に対応する.
(例えばPID制御器を用いると, その表現力ゆえにほとんどの場合には $T_d$ は上記の集合に含まれない. )

$\tilde{r}(\rho) = \dfrac{1}{T(\rho)}y_{ini}$ を用いて, $J_F(\rho) = \| y_{ini} - T_d \tilde{r}(\rho) \|^2 = \left\| \left(1 - \dfrac{T_d}{T(\rho)} \right) y_{ini} \right\|^2$ と書き換えると,

これは初期データの下での $T_d$ と $T(\rho)$ の相対的誤差の最小化と解釈できる.

また, Parsevalの定理を用いて変換すると, 離散時間フーリエ変換は $z = e^{i\omega}$ としたZ変換に対応する事から,
$J_F(\rho) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \left\| \left( 1 - \dfrac{T_d(e^{i\omega})}{T(\rho, e^{i\omega})} \right) Y_{ini}(e^{i\omega}) \right\|^2 d\omega$ とできるので,
$Y_{ini}(e^{i\omega})$ が大きくなる周波数帯域での $T_d$ と $T(\rho)$ の相対的誤差の最小化と解釈できる.